Tugas 4

 Contoh 1: Menentukan Nilai Fungsi Eksponensial

Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai masing-masing fungsi berikut pada x yang diberikan.

f(x) = 2x pada x = –3,1

f(x) = 2–x pada x = π

f(x) = 0,6x pada x = 3/2.

Pembahasan

f(–3,1) = 2–3,1 ≈ 0,1166291

f(π) = 2–π ≈ 0,1133147

f(3/2) = (0,6)3/2 = 0,4647580

Ketika menghitung nilai fungsi eksponensial dengan menggunakan kalkulator, selalu ingat untuk menutup eksponen yang berbentuk pecahan dalam tanda kurung. Hal ini dikarenakan kalkulator mengikuti urutan operasi, dan tanda kurung sangat penting untuk mendapatkan hasil yang benar.

Contoh 2: Grafik Fungsi Eksponensial

Gambarlah grafik masing-masing fungsi berikut.

f(x) = 2x

g(x) = (1/2)x

Pembahasan Tabel berikut mendaftar x mulai dari –3 sampai 3 dan nilai fungsi-fungsi f dan g yang bersesuaian dengan nilai x tersebut.

Contoh 2 Tabel

Berikut ini grafik dari fungsi-fungsi f dan g pada satu bidang koordinat.

Gambar 1

Perhatikan bahwa

g dan f

sehingga kita dapat menggambar grafik fungsi g dengan mencerminkan grafik fungsi f terhadap sumbu-y.

Gambar 2 menunjukkan grafik dari keluarga fungsi-fungsi eksponensial f(x) = ax untuk beberapa nilai basis a. Semua grafik ini melewati titik (0, 1) karena a0 = 1 untuk a ≠ 0. Kita dapat melihat dari Gambar 2 bahwa terdapat dua jenis fungsi eksponensial: Jika 0 < a < 1, fungsi eksponensial tersebut akan turun. Jika a > 1, fungsi tersebut akan naik.

Gambar 2

Sumbu-x merupakan asimtot fungsi eksponensial f(x) = ax. Hal ini dikarenakan jika a > 1, kita mendapatkan ax akan mendekati nol ketika x mendekati –∞, dan jika 0 < a < 1, kita mendapatkan ax akan mendekati 0 ketika x mendekati ∞. Selain itu, ax > 0 untuk setiap x bilangan real, sehingga fungsi f(x) = ax memiliki domain bilangan real dan range (0, ∞). Pengamatan ini dapat kita rangkum seperti berikut.

Contoh 3: Mengidentifikasi Grafik Fungsi Eksponensial

Tentukan fungsi eksponensial f(x) = ax yang grafiknya diberikan oleh Gambar 4(a) dan 4(b) berikut.

Gambar 4

Pembahasan Pada Gambar 4(a), kita dapat melihat bahwa f(2) = a² = 25. Sehingga kita mendapatkan a = 5. Jadi, fungsi eksponensial untuk Gambar 4(a) adalah f(x) = 5x. Selanjutnya, pada Gambar 4(b) kita dapat melihat bahwa f(3) = a3 = 1/8. Sehingga a = ½. Oleh karena itu, fungsi yang memiliki grafik seperti pada Gambar 4(b) adalah f(x) = (1/2)x.

Apabila kita perhatikan, grafik fungsi-fungsi eksponensial selalu naik atau selalu turun. Oleh karena itu, grafik ini memenuhi Uji Garis Horizontal. Yaitu, grafik fungsi eksponensial ini berpotongan dengan sebarang garis horizontal maksimal di satu titik. Sehingga fungsi eksponensial merupakan fungsi satu-satu. Kita dapat menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu untuk menyelesaikan persamaan eksponensial sederhana.

Contoh 4: Menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu

Selesaikan persamaan-persamaan eksponensial berikut ini.

9 = 3x + 1

(1/2)x = 8

Pembahasan

Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita mendapatkan

Contoh 4-1

Jadi, selesaian dari masalah ini adalah x = 1.

Dengan menggunakan Sifat Korespondensi Satu-satu, kita peroleh

Contoh 4-2

Jadi, x = –3 merupakan selesaian dari persamaan ini.

Dalam contoh selanjutnya kita akan melihat bagaimana menggambar grafik fungsi tanpa melakukan plot titik, akan tetapi dengan menggunakan grafik dasar fungsi-fungsi eksponensial pada Gambar 2 yang kemudian dikenakan pergeseran dan pencerminan.

Contoh 5: Transformasi Fungsi Eksponensial

Gunakan grafik f(x) = 2x untuk mensketsa grafik fungsi-fungsi g(x) = 1 + 2x, h(x) = –2x, dan k(x) = 2x – 1. Nyatakanlah domain, range, dan asimtot dari fungsi-fungsi tersebut.

Pembahasan Untuk mendapatkan grafik g(x) = 1 + 2x, kita mulai dengan grafik f(x) = 2x dan kemudian kita geser grafik fungsi f tersebut ke atas sejauh 1 satuan untuk mendapatkan grafik seperti yang ditunjukkan Gambar 5(a). Dari grafik tersebut kita dapat melihat bahwa domain g merupakan himpunan semua bilangan real, range g adalah selang (1, ∞), dan garis y = 1 merupakan asimtot horizontal.

Begitu juga untuk mendapatkan grafik h(x) = –2x, kita mulai dengan f(x) = 2x, akan tetapi kali ini kita cerminkan grafik tersebut terhadap sumbu-x untuk mendapatkan grafik yang ditunjukkan Gambar 5(b). Berdasarkan grafik ini kita dapat melihat bahwa domain h adalah himpunan semua bilangan real, range fungsi ini merupakan selang (–∞, 0), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal.

Gambar 5(c) menunjukkan grafik fungsi k(x) = 2x – 1 yang diperoleh dengan menggeser grafik f(x) = 2x ke kanan sejauh satu satuan. Dari grafik ini kita dapat mengamati bahwa domain k adalah himpunan semua bilangan real, range k adalah selang (0, ∞), dan garis y = 0 merupakan asimtot horizontal grafik fungsi k.

Gambar 5

Perhatikan bahwa transformasi pada Gambar 5(b) dan 5(c) tetap menjadikan sumbu-x sebagai asimtot horizontal, sedangkan transformasi pada Gambar 5(a) menghasilkan asimtot horizontal baru, yaitu y = 1. Perhatikan juga bahwa masing-masing transformasi di atas mempengaruhi titik potong grafik dengan sumbu-y.